一有效數(shù)字及其有效數(shù)字的保留

 

1 有效數(shù)字的定義

有效數(shù)字指，保留末一位不準(zhǔn)確數(shù)字，其余數(shù)字均為準(zhǔn)確數(shù)字。有效數(shù)字的最后一位數(shù)值是可疑值。

 

如：0.2014為四位有效數(shù)字，最末一位數(shù)值4是可疑值，而不是有效數(shù)值。

再如：1g、1.000g其所表明的量值雖然都是1，但其準(zhǔn)確度是不同的，其分別表示為準(zhǔn)確到整數(shù)位、準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第三位數(shù)值。因此有效數(shù)值不但表明了數(shù)值的大小，同時(shí)反映了測量結(jié)果的準(zhǔn)確度。

 

2 有效數(shù)字的保留

由于有效數(shù)字最末一位是可疑值，而不是準(zhǔn)確值。因此，計(jì)算過程中，計(jì)算的結(jié)果應(yīng)比標(biāo)準(zhǔn)極限或技術(shù)指標(biāo)規(guī)定的位數(shù)要求多保留一位，最后的報(bào)出值應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)對定的位數(shù)相一致。

 

如：在標(biāo)準(zhǔn)的極限數(shù)值(或技術(shù)指標(biāo))的表示中，××≧95 表明結(jié)果要求保留到整數(shù)位。因此，計(jì)算結(jié)果一定要保留到小數(shù)點(diǎn)后一位，最后再修約到整數(shù)位，如計(jì)算結(jié)果為94.6報(bào)出結(jié)果為95(-);因?yàn)?4.6結(jié)果的0.6為可疑值，要想保留到整數(shù)位結(jié)果為準(zhǔn)確值，計(jì)算結(jié)果必須要多保留一位。

 

如，分析天平的分辨率為0.1mg(即我們常說的萬分之一天平)，如果我們稱取的量是10.4320g.，則實(shí)際的稱取結(jié)果結(jié)果為10.4320±0.0002g(萬分之一的天平誤差)。因?yàn)樵倬�確的儀器設(shè)備都有誤差，因此，在重量法中，如果檢驗(yàn)方法中要求：直至恒重，即前后兩次差不大于0.0002g即為恒重了。(講電子天平的準(zhǔn)確度)

 

如GB/T 601《化學(xué)試劑標(biāo)準(zhǔn)滴定溶液的制備》，要求保留4為有效數(shù)字，因此在標(biāo)定計(jì)算結(jié)果中，應(yīng)保留5位有效數(shù)字，最后再修約到4為有效數(shù)字(如果直接保留到4為有效數(shù)字，實(shí)際上是保留了三位有效數(shù)字，因最后一位是可疑值，則由標(biāo)準(zhǔn)溶液的濃度的不準(zhǔn)確，會引進(jìn)系統(tǒng)誤差。

 

 

二“0” 在數(shù)字中的作用

 

“0”作為一個(gè)特殊的數(shù)字，在數(shù)值的不同的位置，有著不同的作用，只有明確了“0”在數(shù)字中的作用，才能更好的掌握有效數(shù)字及其加減乘除的運(yùn)算規(guī)則。“0”在數(shù)字中不同的位置，有不用的作用，根據(jù)“0”在數(shù)字的位置，起三種作用。即定位(無效)、定值(有效)及不確定作用。

 

2.1 定位(無效)

當(dāng)“0”在小數(shù)點(diǎn)后，又在數(shù)字之前(前提：小數(shù)點(diǎn)前為“0”)時(shí)，為定位。如：0.0001(數(shù)字前4個(gè)零)0.02040(數(shù)字前2個(gè)零)均為定位作用;

 

2.2 定值(有效)

當(dāng)“0”在小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)值中間或數(shù)尾(前提：小數(shù)點(diǎn)前必為“0”)時(shí)。如：0.002040.300020

當(dāng)“0”在小數(shù)點(diǎn)后，而小數(shù)點(diǎn)前為非“0”時(shí)。如1.000 1.0204

均為有效作用

 

2.3 不確定作用：當(dāng)“0”在整數(shù)后

如：4500有效數(shù)值是幾位?回答是：不確定

將4500用三為有效數(shù)字表示：0.450×104 4.50×103

將4500用四為有效數(shù)字表示：0.4500×104 45.00×102

 

 

三數(shù)字修約規(guī)則(GB8170)

 

3.1 數(shù)字修約規(guī)則 例題：將下列各數(shù)修約到小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)。

修約前 修約后

四舍六入五考慮， 12.44 12.4

12.46 12.5

五的情況有三種：12.35 12.4

五后為零看前位，12.45 12.4

五前為奇要進(jìn)一 12.451 12.5

五前為偶要舍去，

五后非零則進(jìn)一。

 

3.2 檢驗(yàn)結(jié)果的修約

根據(jù)技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)的指標(biāo)要求，在原始記錄中，通常檢驗(yàn)計(jì)算的結(jié)果應(yīng)比標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的位數(shù)要多保留一位，但被多保留的一位數(shù)值，應(yīng)該體現(xiàn)出修約的情況，或一步修約到位，但不能存在連續(xù)修約的現(xiàn)象

 

a)檢驗(yàn)結(jié)果修約后，應(yīng)體現(xiàn)出修約的情況

如 標(biāo)準(zhǔn)值 ××<0.5

檢測結(jié)果為：0.456 第1步修約：0.46(-)(四舍六入)

報(bào)出值：0.5(-) 判定：合格

如：標(biāo)準(zhǔn)值 ×× ≥15

檢測結(jié)果為：14.55 第1步修約：14.6(-) 報(bào)出值：15(-)

按全數(shù)值比較法(15(-))判定不合格、按修約值比較法(15)判定合格

14.55(5后非零要進(jìn)一。講評：在擬舍棄的數(shù)字中即14.55的第一個(gè)“5”，雖然“5”前為偶數(shù)，但“5”后非“0”，所以要進(jìn)一。)

如，若檢驗(yàn)結(jié)果為：14.35

第1步修約：14.4(+) (修約原則，四舍六入) 報(bào)出結(jié)果：14

最終的報(bào)出結(jié)果只有修約到標(biāo)準(zhǔn)值上時(shí)，才用+、-表示。

例題：將檢驗(yàn)結(jié)果保留到整數(shù)位

檢測值 修約值 報(bào)出值

15.4546 15.5(-) 15

16.5203 16.5(+) 17

17.5000 17.5 18

10.5020 10.5(+) 11

由以上例題可見，被多保留的數(shù)字 的修約原則仍是是四舍六五單雙

 

b)一步修約到位 (這種修約更直接和更直觀)

例題：將下列結(jié)果修約到整數(shù)位

檢測結(jié)果 報(bào)出值

15.4546 15

16.5203 17

17.5000 18

14.5500 15

10.5020 11

 

c)不準(zhǔn)連續(xù)修約

擬修約數(shù)字應(yīng)在確定修約位數(shù)后，應(yīng)一次修約獲得結(jié)果，而不準(zhǔn)多次修約即連續(xù)修約。

如15.4546一次修約結(jié)果為：15

※ 連續(xù)修約：15.455 — 15.46-15.5-16

※ 按多保留一位的修約法：15.5(-)

因?yàn)?5(-)

即修約后到5(-) ，但不足5(<5)，所以不進(jìn)，最終結(jié)果為15。

 

四數(shù)值的修約方法

 

4.1 數(shù)值的修約方法有兩種，即修約值比較法和全數(shù)值比較法

a)修約值比較法：數(shù)值修約后，體現(xiàn)不出數(shù)值的修約情況;

b)全數(shù)值比較法：數(shù)值修約后，能夠體現(xiàn)出數(shù)值的修約情況。

 

4.2 如何選擇修約值的方法

a)當(dāng)檢測項(xiàng)目牽涉到衛(wèi)生指標(biāo)、安全指標(biāo)等，應(yīng)首選用全數(shù)值比較法;

b)只有當(dāng)檢測結(jié)果修約到標(biāo)準(zhǔn)值上時(shí)，方采用全數(shù)值比較法。
由上表可以看出，一般情況下全數(shù)值比較法嚴(yán)與修約值比較法。

 

 

五加減乘除運(yùn)算規(guī)則

 

5.1加減法運(yùn)算規(guī)則

在參與運(yùn)算的各數(shù)中，以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的的為準(zhǔn)，其余各數(shù)均修約成比位數(shù)最少的要多一位，最終結(jié)果與位數(shù)最少的相一致。(與小數(shù)點(diǎn)位數(shù)有關(guān))

例題1：

12.455 + 23.1 +14.345

= 12.46 + 23.1 +14.34

= 49.90

≈49.9

 

例題2：

2.155 + 0.0012 +10.445 + 25.1

= 2.16 + 0.00 +10.44 + 25.1

= 37.70

≈37.7

 

例題3：

1.000 + 0.125 +9.555 + 0.1

= 1.00 + 0.12 +9.56 + 0.1

= 10.78

≈10.8

 

例題4：

0.999 + 1.0 +14.999 + 24.450

= 1.00+ 1.0 + 15.00+ 24.45

= 41.45

≈41.4

 

例題5：

0.1 + 10.515 +0.001 + 10.000

= 0.1 + 10.52 +0.00 + 10.00

= 26.62

≈26.6

 

5.2 乘除(乘方、開方)法

在參與運(yùn)算的各數(shù)中，以有效位數(shù)最少的為準(zhǔn)，其余各數(shù)均修約成比有效位數(shù)最少的要多一位，最終結(jié)果與有效位數(shù)最少的相一致。(與有效位數(shù)有關(guān))

例題1：

10.54 × 1.001 ×0.10

= 10.5 × 1.00 ×0.10

= 1.05

≈1.0

 

例題2：

0.1 × 1.00 × 0.101× 10.145

= 0.1 × 1.0 × 0.10× 10

= 0.10

≈0.1

 

例題3：

0.999 × 1.00 ×10.04 × 0.0010

= 1.00 ×1.00 × 10.0× 0.0010

= 0.0100

= 0.010

 

例題4：

2.24 × 0.5 × 0.554× 0.5451

= 2.2 × 0.5 × 0.55×0.55

= 0.33

≈0.3 

 

例題5：

2.5 × 2.451 × 2.255

= 2.5 × 2.45 × 2.26

= 13.8

≈14